微分方程的特解（Particular Solution） 是在求解非齐次微分方程时得到的一个具体解，它满足整个非齐次微分方程（包括齐次项和非齐次项）。
微分方程的结构
考虑一个线性非齐次常微分方程：
L(y)=y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)L(y) = y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)L(y)=y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)
齐次方程部分： L(y)=0L(y) = 0L(y)=0 （即 y′′+p(x)y′+q(x)y=0y'' + p(x)y' + q(x)y = 0y′′+p(x)y′+q(x)y=0）非齐次方程部分：L(y)=f(x)L(y) = f(x)L(y)=f(x)，其中 f(x)f(x)f(x) 是外部输入或驱动力，也称为源项。
解的构成
对于非齐次微分方程的解，通常包括以下两个部分：
通解（General Solution）: 齐次方程的解集，表示为 yh(x)y_h(x)yh(x)。特解（Particular Solution）: 一个满足非齐次方程的特定解，表示为 yp(x)y_p(x)yp(x)。
因此，非齐次微分方程的通解是通解和特解的和：
y(x)=yh(x)+yp(x)y(x) = y_h(x) + y_p(x)y(x)=yh(x)+yp(x)
特解的求解方法
特解的求解方法主要有以下几种：
待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）:
适用于 f(x)f(x)f(x) 是多项式、指数函数、正弦函数或余弦函数的情况。假设一个与 f(x)f(x)f(x) 形式相似的特解形式，代入方程确定未知系数。
常数变易法（Variation of Parameters）:
适用于更广泛的 f(x)f(x)f(x) 形式。通过引入新的未知函数来代替齐次解中的常数，并构造特解。
示例
考虑以下非齐次二阶常微分方程：
y′′−3y′+2y=exy'' - 3y' + 2y = e^xy′′−3y′+2y=ex
求齐次方程的通解：
首先解对应的齐次方程：
y′′−3y′+2y=0y'' - 3y' + 2y = 0y′′−3y′+2y=0
其特征方程为：
r2−3r+2=0 r^2 - 3r + 2 = 0r2−3r+2=0
解得 r=1r = 1r=1和 r=2r = 2r=2，所以齐次方程的通解为：
yh(x)=C1ex+C2e2xy_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}yh(x)=C1ex+C2e2x
假设特解的形式：
由于非齐次项 f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex 是指数函数，根据待定系数法，假设特解为：
yp(x)=Axexy_p(x) = A x e^xyp(x)=Axex
注意到 exe^xex 已经在齐次解中出现，因此特解应乘以 xxx 来避免重复。
代入原方程：
将 yp(x)y_p(x)yp(x) 代入原方程，计算其导数并整理，得到一个关于 AAA 的代数方程。
解方程得到特解：
解出 AAA的值，从而得到特解 yp(x)y_p(x)yp(x)。
构造总解：
最终的总解为：
y(x)=yh(x)+yp(x)=C1ex+C2e2x+Axexy(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + Ax e^xy(x)=yh(x)+yp(x)=C1ex+C2e2x+Axex
特解的求解是将非齐次项的影响包含在解中，提供了对整个系统行为的完整描述。